Ich habe den ersten Teil von Daniel-Pascal Zorns Dissertation Vom Gebäude zum Gerüst. Entwurf einer Komparatistik reflexiver Figurationen in der Philosophie (Logos, Berlin 2016) gelesen, und zwar mit den Werkzeugen, die ich habe: Kategorientheorie, Typentheorie, ein bisschen Modallogik. Das Buch liegt frei bei peDOCS. Grundlage sind die Problemstellung, der Schluss von Kap. 2.3, Kap. 3 und Kap. 4.1–4.3. Seitenangaben beziehen sich auf die Logos-Ausgabe.

Vorweg zur Hinsicht: Das hier ist keine Behauptung, Zorns Buch sei „eigentlich“ Kategorientheorie. Zorn warnt selbst davor, eine Lektürehinsicht vorher in Geltung zu setzen und im Text dann nur das Eigene wiederzufinden (S. 18–24). An diesem Maßstab will ich mich messen lassen. Ich versuche deshalb zu zeigen, wo die Übersetzung trägt, wo sie nur ein Bild liefert und wo sie bricht. Die Bruchstellen sind vermutlich das Interessanteste.

Was Zorn entwickelt

Zorns Ausgangsfrage lautet: Wie lassen sich philosophische Ansätze vergleichen, ohne ein „äußeres Drittes“ vorauszusetzen (S. 24)? Seine Antwort: Das tertium comparationis ist die Reflexivität, die jeder philosophische Text an sich selbst zeigt. Den Begriffsapparat übernimmt er von Urs Schällibaum (Reflexivität und Verschiebung, 2001) und baut ihn aus.

• Operativ/inhaltlich (Fink, Schobinger): An jeder Rede lassen sich Sagen und Gesagtes unterscheiden. Jedes x ist schon „x“, gesagt von einer Aussageposition aus (S. 106–107).
• Hinsicht: „Man kann sich nicht überhaupt oder bloß auf etwas beziehen“ (S. 108). Identische Selbstreferenz xRx ist unmöglich, „Referenz enthält je bereits eine bestimmte Hinsicht“ (S. 110).
• Reflexives Verhältnis: „A über B und zugleich B über etwas an A“, ohne dass volle Symmetrie gewährleistet sein müsste (S. 111).
• Drei Stufen: Die Reflexions-Form ist die formale Reflexivität jeder Setzung. In der Reflexions-Struktur thematisiert das Worüber das Worin, einfach über Immanenzbegriffe („im Text“), kompliziert über Strukturbegriffe (Methoden, Regeln). Die Reflexivitäts-Struktur ist das Verhältnis zum Woher, das nie eingeholt wird (S. 113–117).
• Fünf Strukturmomente: Asymmetrie, Nachträglichkeit, reflexive Verschiebung (x → „x“), Differenz mit nur einem Relat, Grenze ohne Außen (S. 119–129).
• Logische Position und MMRK (Kap. 4): ein quasi-formales „Modell für Modelle reflexiver Komplizierung“, das ausdrücklich keine Grundstruktur sein soll (S. 145, 163–168). Dazu kommen zwei Richtungssinne der Auslegung, ein logischer und ein ontologischer (S. 170).

Eine Begriffskarte

Am stärksten tragen drei Stellen: die Unmöglichkeit des absoluten Selbstbezugs (Lawvere), die logische Position im MMRK (Modallogik und geschützte Rekursion) und das „Von-wo-aus“ jeder Setzung (Kontexte, verallgemeinerte Elemente). „Stark“ heißt in der Tabelle, dass sich eine Strukturgleichheit angeben lässt. „Bild“ heißt, dass es eine anregende Analogie gibt, aber keinen Satz.

Ein Punkt verdient besondere Erwähnung. Zorn grenzt seine „Denklogik“ von einer „bloß formalen Logik“ ab, die vom Inhalt zwar abstrahiert, aber die Perspektive auf das bloß Inhaltliche beibehält und die Position, von der aus gesprochen wird, nicht mit einbezieht (S. 109). Kategoriale Logik und Typentheorie sind in diesem Sinn gerade keine bloß formale Logik: Jedes Urteil trägt seinen Kontext mit, jedes Element seine Stufe.

Drei Kernstellen

1. Die Unmöglichkeit des absoluten Selbstbezugs ist Lawveres Fixpunktsatz

Schällibaum behauptet zweierlei: „Kein Sagen eines Gesagten kann sich selber sagen“, und doch gibt es Sätze, „die ihr eigenes Sagen in bestimmter Hinsicht zum Gegenstand machen“ (zitiert bei Zorn, S. 117, Anm. 297). Lawvere (1969) zeigt, dass beides ein einziger Satz ist. In jeder kartesisch abgeschlossenen Kategorie gilt:

\[ \varphi : A \to B^A \text{ punkt-surjektiv} \;\Longrightarrow\; \text{jedes } f : B \to B \text{ hat einen Fixpunkt.} \]

Meine Lesart: \(A\) ist das Gesagte, \(B\) die Hinsicht (etwa Wahrheitswerte \(\Omega\)), und \(\varphi\) ordnet jedem Gesagten zu, was es über jedes Gesagte sagt. Punkt-surjektiv heißt, dass jedes mögliche Sagen über \(A\) als ein Gesagtes in \(A\) eingeholt ist. Da die Negation auf \(\Omega\) keinen Fixpunkt hat, ist diese vollständige Einholung unmöglich. Das sind Cantor, Russell und Tarski in einem. Wo die Einholung dagegen in einer bestimmten Hinsicht gelingt, etwa bei der Arithmetisierung der Beweisbarkeit, erzwingt derselbe Satz einen Selbstbezug: Gödels Diagonallemma. Schällibaums Asymmetrie ist hier also nicht bloß ein Bild, sondern ein Theorem. Eine zugängliche Darstellung gibt Yanofsky (2003).

2. Das MMRK als Modallogik

Zorns Positionen (2) bis (4) sehen so aus (S. 165–167):

\[ \ldots : g \qquad \ldots : g \wedge (p : g) \qquad \ldots : g \wedge (p : g) \wedge (p : (g \wedge p : g)) \]

Dabei steht „…“ für die logische Position, \(p\) für ihre inhaltliche Auslegung und \(g\) für den Gegenstand. Ist \(C_n\) der Inhalt hinter „… :“, folgt das einem Bildungsgesetz:

\[ C_1 = g, \qquad C_{n+1} = C_n \wedge (p : C_n). \]

Liest man „\(p :\)“ als normale Modalität \(\Box\), ist das die Iteration des Operators \(\boxdot X = X \wedge \Box X\) aus der Beweisbarkeitslogik. Weil \(\Box\) über \(\wedge\) distribuiert, wird \(C_3\) zu \(g \wedge \Box g \wedge \Box\Box g\). Daraus ergibt sich eine scharfe Weiche:

• Ohne Axiom 4 (\(\Box g \to \Box\Box g\)) entsteht ein strikter Turm \(g, \Box g, \Box\Box g, \dots\), also der Regress der Figur φ.
• Mit Axiom 4 („wer etwas sagt, hat schon gesagt, dass er es sagt“, die Reflexions-Form als Gesetz) sind \(C_3\) und \(C_2\) logisch äquivalent. Zorns Position (4) fiele dann in (3) zusammen.
• Der dritte Weg ist die geschützte Rekursion. Die Gleichung \(X \cong g \wedge \triangleright(p : X)\) hat in geschützter Typentheorie (Nakano 2000; Birkedal u. a. 2011) genau eine Lösung. Die Modalität \(\triangleright\) („später“) ist eine formale Nachträglichkeit. Ungeschützter Selbstbezug \(X \cong (X \Rightarrow \Omega)\) ist inkonsistent, verschobener Selbstbezug ist konsistent.

Das dritte entspricht recht genau Zorns Figur μ: Die Möglichkeit jedes weiteren Anschlusses ist „bereits formuliert“ (S. 168). Seine Unterscheidung von extensivem und intensivem Einholversuch entspricht der von Kette und Fixpunkt.

Die äußere Position „…“ bleibt in allen drei Fällen draußen. Dass die interne Auslegung \(p\) nie mit „…“ zusammenfällt, ist in der Beweisbarkeitslogik der Satz von Löb:

\[ \Box(\Box A \to A) \to \Box A. \]

3. Der geometrische Logos und die universelle Eigenschaft

Zorns Konstruktion fügt jeweils den Punkt hinzu, „von dem aus“ die bisherige Figur gezeichnet wurde: Strecke, Dreieck, Tetraeder, Pentachoron (S. 165). Das ist der iterierte Kegel, aus dem die Simplizes entstehen. Ein Limes ist ein universeller Kegel: die Position, von der aus ein Diagramm gesehen wird und über die jede andere solche Position eindeutig faktorisiert. Das Produkt \(A \times B\) ist die beste Position, von der aus \(A\) und \(B\) zugleich gesehen werden. Das war auch das Thema meines Posts über die universelle Konstruktion.

Hier liegt vermutlich der beste Berührungspunkt. Die universelle Eigenschaft gibt das Woher nicht als Sache an, sondern nur durch sein Verhältnis zu allen anderen Positionen. Sie bestimmt es nur bis auf Isomorphie und erst im Nachhinein. Das kommt Zorns „Wo Thema ist, scheint Vor gewesen zu sein“ (S. 124) nahe, ohne es zu ersetzen.

Garben als Perspektiven

Vielleicht passt keine Struktur besser auf Zorn als die Garbe. Das Buch beginnt mit Platons Satz, der Mensch sei Mensch, „weil er zusammenschaut, was er gesehen hat“ (S. 9). Zusammenschauen ist ziemlich wörtlich Gluing. Lokale Sichten sind Schnitte \(F(U)\) über Hinsichten \(U\). Eine globale Sicht wird nicht vorausgesetzt, sondern aus verträglichen lokalen Sichten verklebt.

• Tertium von innen. Zwei Sichten werden auf ihrem Überlapp \(U \cap V\) verglichen, nicht in einem Raum darüber. Der Überlapp ist ein Drittes, das aus beiden Hinsichten kommt (vgl. S. 24).
• Der Bestätigungsfehler als erzwungene Verklebung. Eine Passage für „wesentlich“ zu erklären und den Rest als „unwesentlich“ auszusortieren (S. 21), heißt, die Überdeckung so lange zu verkleinern, bis die Daten verkleben.
• Pluralität als Obstruktion. Sichten können lokal konsistent sein und trotzdem keinen globalen Schnitt haben. Das misst die erste Kohomologie; Abramsky und Brandenburger beschreiben so Kontextualität. Pluralität ist dann weder Relativismus noch ein behebbarer Fehler.
• Die Reflexions-Form als Forcing. In der Kripke-Joyal-Semantik heißt \(U \Vdash \varphi\): „von \(U\) aus gilt \(\varphi\)“. Das ist Zorns „… : g“ mit explizitem Woher.
• Lektürehinsichten als Topologien. Verschiedene Lawvere-Tierney-Topologien auf derselben Prägarbenkategorie legen fest, was als ausreichendes Zusammenschauen gilt. Die Doppelnegations-Topologie macht die Logik klassisch.
• Garbifizierung als Verschiebung. Wer eine Prägarbe zur Garbe macht, fügt Schnitte hinzu und identifiziert andere. Das Verkleben verändert, was verklebt wird.

Damit lässt sich Zorns These knapp fassen. Die Prägarbe der Inhalte philosophischer Texte hat keinen globalen Schnitt, sonst gäbe es keinen Streit. Zorns Behauptung betrifft die Prägarbe der reflexiven Strukturen, die in einer Hinsicht sichtbar sind: Sie hat einen globalen Schnitt, nämlich Reflexivität. Die Inhalte verkleben nicht, die Strukturen schon.

Und hier bricht auch diese Brille. Jede Garbe lebt auf einem Situs, und die Position, von der aus er gewählt wird, liegt nicht in ihm. Lawveres Unterscheidung von petit und gros Topos macht diesen Schritt nach außen selbst zur Struktur. Im petit Topos \(\mathrm{Sh}(X)\) sieht man von einem Raum aus. Im gros Topos ist \(X\) ein Objekt unter anderen, und der petit Topos erscheint (in günstigen Fällen) als Slice über \(X\), also als der gros Topos von \(X\) aus gesehen. Der Rest bleibt trotzdem: Der gros Topos ist kein Objekt seiner selbst und braucht ein größeres Universum. Zorn und Lawvere sehen also denselben Punkt. Zorn beschreibt den Entzug, Lawvere macht den Schritt nach außen zu einem Funktor.

Wo die Übersetzung bricht

Die Kategorientheorie kann die Struktur des Woher modellieren, aber sie kann nicht selbst das Woher sein. Zorn würde diese Lektüre zu Recht als eine Reflexions-Struktur lesen, deren Reflexivitäts-Struktur der Leser sieht. Bemerkenswert ist, dass die Kategorientheorie dem zustimmt: Nach Lawvere gibt es keinen Rahmen, der sich selbst vollständig enthält.

• Differenz mit nur einem Relat. Hier finde ich keinen guten Kandidaten. Nicht-darstellbare Prägarben oder freie Konstruktionen, deren Erzeuger erst vom Ergebnis her sichtbar wird, sind Annäherungen, aber keine Strukturgleichheit.
• Person, Gericht, Protokoll. Kontexte \(\Gamma\) sind Positionen, aber kein „jemand“. Zorn fasst „jemand“ zwar zunächst als Position (S. 107, Anm. 266), doch die pragmatische Seite (wer sagt was mit welcher Funktion) bleibt draußen.
• Einübung. Operationale Aufmerksamkeit ist für Zorn eine téchne, die nur durch Ausübung gelernt wird (S. 108). Ein Formalismus kann das stützen, aber nicht ersetzen. Hier hat Lean allerdings ein Argument: Auch Beweisen wird dort geübt, nicht gelesen.
• Die Kanten der Mathematik. Die modallogische Lesart setzt voraus, dass \(\wedge\) klassisch ist und „\(p :\)“ über Konjunktion distribuiert. Zorn nennt sein \(\wedge\) ausdrücklich „und zugleich, reflexiv“ (S. 163). Möglicherweise ist es gar keine Konjunktion.
• Die Gefahr der Aktualisierung. Zorn kritisiert, einen Philosophen „in unsere Zeit übersetzen“ zu wollen (S. 23). Dieser Post versteht sich deshalb als Frage, nicht als Auflösung.

Offene Fragen

1. Gilt für „\(p :\)“, dass wer etwas sagt, auch sagt, dass er es sagt (Axiom 4)? Wenn ja, fallen Position (3) und (4) logisch zusammen. Wenn nein, warum endet das MMRK bei (4)?
2. Ist das \(\wedge\) im MMRK eine Konjunktion oder ein eigener Operator? Was wäre seine Regel?
3. Wäre ein geschützter Fixpunkt, also Selbstbezug mit eingebauter Nachträglichkeit, eine „intensive Einholung“ oder schon eine dogmatische Setzung?
4. Zählt Lawveres Fixpunktsatz als Reflexions-Struktur der Mathematik, also als ein Text, der seine eigene Grenze thematisiert?
5. Trägt die Unterscheidung zweier Prägarben: Inhalte ohne globalen Schnitt, reflexive Strukturen mit globalem Schnitt? Und ist der Schritt vom petit zum gros Topos eine Einholung des Woher oder nur eine weitere Verschiebung?
6. Was steht in Schällibaums Anhang „Reflexive Phänomene in den Wissenschaften“ (Reflexivität und Verschiebung, S. 118–129; vgl. Zorn, S. 143, Anm. 373)?

Der Punkt, dass sich der Analytiker immer weiter nach außen verschieben kann, wird bleiben. Zorn hat ihn gefunden, Lawvere auch. Mich interessiert, was passiert, wenn man die beiden Wege nebeneinanderlegt.

Literatur

• Zorn, Daniel-Pascal: Vom Gebäude zum Gerüst. Entwurf einer Komparatistik reflexiver Figurationen in der Philosophie, Berlin 2016 (peDOCS).
• Schällibaum, Urs: Reflexivität und Verschiebung, Wien 2001.
• Lawvere, F. William: Functorial Semantics of Algebraic Theories, Dissertation, Columbia University 1963.
• Lawvere, F. William: Diagonal Arguments and Cartesian Closed Categories,
• Lawvere, F. William: Intrinsic Co-Heyting Boundaries and the Leibniz Rule in Certain Toposes, 1991.
• Yanofsky, Noson S.: A Universal Approach to Self-Referential Paradoxes, Incompleteness and Fixed Points, 2003.
• Nakano, Hiroshi: A Modality for Recursion, 2000.
• Birkedal, Lars u. a.: First Steps in Synthetic Guarded Domain Theory, 2011.
• Scott, Dana: Relating Theories of the λ-Calculus, 1980.
• Abramsky, Samson / Brandenburger, Adam: The Sheaf-Theoretic Structure of Non-Locality and Contextuality, 2011.